लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$S [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = (x + y + z) \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ z \end{array}]$

चरण 1

परिवर्तन एक मानचित्र को $ℝ^{3}$ से $ℝ^{1}$ तक परिभाषित करता है. यह साबित करने के लिए कि परिवर्तन रैखिक है, परिवर्तन को अदिश गुणन, जोड़ और शून्य सदिश को संरक्षित करना चाहिए.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{1}$

चरण 2

पहले साबित करें कि परिवर्तन इस संपत्ति को संरक्षित करता है.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

चरण 3

अतिरिक्त गुण $S$ के लिए संरक्षित है, इसका परीक्षण करने के लिए दो मैट्रिक्स सेट करें.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

चरण 4

दो आव्यूहों को जोड़े.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

चरण 5

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

चरण 6

$x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

चरण 7

चरों को समूहित करके परिणाम को दो आव्यूहों में विभाजित करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

चरण 8

परिवर्तन का संयोजन गुणधर्म सत्य है.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

चरण 9

परिवर्तन के लिए रैखिक होने के लिए, इसे अदिश गुणन बनाएं रखना चाहिए.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}])$

चरण 10

प्रत्येक अवयव के $p$ का गुणनखंड करें.

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चरण 10.1

मैट्रिक्स में प्रत्येक अवयव से $p$ को गुणा करें.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p x \\ p y \\ p z \end{array}])$

चरण 10.2

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

चरण 10.3

$p x + p y + p z$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

चरण 10.4

$p x + p y + p z$ से गुणा करके अवयव $0, 0$ का गुणनखंड करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (x + y + z) \end{array}]$

चरण 11

इस परिवर्तन में रैखिक परिवर्तनों की दूसरे गुणधर्म संरक्षित है.

$S (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]) = p S (x)$

चरण 12

परिवर्तन के रैखिक होने के लिए, शून्य वेक्टर को संरक्षित किया जाना चाहिए.

$S (0) = 0$

चरण 13

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 + 0 + 0 \end{array}]$

चरण 14

$0 + 0 + 0$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

चरण 15

शून्य सदिश परिवर्तन द्वारा संरक्षित है.

$S (0) = 0$

चरण 16

चूंकि रैखिक परिवर्तनों के सभी तीन गुण पूरे नहीं होते हैं, यह एक रैखिक परिवर्तन नहीं है.

रैखिक परिवर्तन